লবের মাত্রা (২) হরের মাত্রা (৩) অপেক্ষা ছোট। তাই এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

যেকোনো ভগ্নাংশের হর কখনো শূন্য হতে পারে না। যদি কোনো ভগ্নাংশের হর শূন্য হয়, তবে সেই রাশিটি অসংজ্ঞায়িত হয়। তাই, $\frac{x}{0}$ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ নয়।

$\frac{a^{2}-6a+5}{a^{2}-25} = \frac{a^{2}-5a-a+5}{a^{2}-5^{2}} = \frac{a(a-5)-1(a-5)}{(a+5)(a-5)} = \frac{(a-5)(a-1)}{(a+5)(a-5)} = \frac{a-1}{a+5}$

$\frac{x^{2}-7x+12}{x^{2}-9x+20} = \frac{x^{2}-4x-3x+12}{x^{2}-5x-4x+20} = \frac{x(x-4)-3(x-4)}{x(x-5)-4(x-5)} = \frac{(x-4)(x-3)}{(x-5)(x-4)} = \frac{x-3}{x-5}$

$\frac{x^{3}-49x}{x^{2}+7x} = \frac{x(x^{2}-49)}{x(x+7)} = \frac{x(x+7)(x-7)}{x(x+7)} = x-7$

$\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}-5x+6} = \frac{x^{2}-3x+2x-6}{x^{2}-3x-2x+6} = \frac{x(x-3)+2(x-3)}{x(x-3)-2(x-3)} = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x-2)} = \frac{x+2}{x-2}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশ = $\frac{x(x^{2}+2xy+y^{2})}{y(x^{2}+2xy+y^{2})} = \frac{x(x+y)^{2}}{y(x+y)^{2}} = \frac{x}{y}$। যেহেতু ভগ্নাংশটি ইতিমধ্যেই $\frac{x}{y}$ এর সমান, তাই এর সাথে $0$ যোগ করতে হবে।

$\frac{x^{2}-(y^{2}+2yz+z^{2})}{x+y+z} = \frac{x^{2}-(y+z)^{2}}{x+y+z} = \frac{(x+y+z)(x-y-z)}{x+y+z} = x-y-z$

প্রদত্ত ভগ্নাংশ = $\frac{(x+5)(x+1)}{(x+5)^{2}} = \frac{x+1}{x+5}$।
ii নং হতে পাই: $\frac{(x-3)(x+1)}{(x+5)(x-3)} = \frac{x+1}{x+5}$। তাই i ও ii সমতুল।

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{3}-b^{3}} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})} = \frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}$। উপরের সবগুলো ভগ্নাংশ লঘিষ্ঠ করলে $\frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}$ পাওয়া যায়।

হর = $x^{2}-4x = x(x-4)$। সুতরাং একটি উৎপাদক হলো $(x-4)$।

লব = $x^{2}-8x+16 = (x-4)^{2}$। হর = $x(x-4)$। অতএব, গ.সা.গু. = $(x-4)$।

১ম ভগ্নাংশের হর = $x^{2}-1 = (x+1)(x-1)$। ২য় ভগ্নাংশের হর = $x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2)$। হরগুলোর ল.সা.গু. = $(x+1)(x-1)(x+2)$। ১ম ভগ্নাংশের লব ও হরকে $(x+2)$ দ্বারা গুণ করলে লব হবে $(x+2)(x+2) = (x+2)^{2}$।

সাধারণ হর হবে $a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$। ১ম ভগ্নাংশের হরকে $(a+b)$ দ্বারা গুণ করতে হবে, তাই লব হবে $a(a+b)$।

হরগুলোর ল.সা.গু. = $x^{2}y^{2}z^{2}$। ১ম ভগ্নাংশের লব = $x^{3}y^{3}$, ২য়টির = $y^{3}z^{3}$, ৩য়টির = $z^{3}x^{3}$। এদের সমষ্টি = $x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}+z^{3}x^{3}$।

ল.সা.গু. = $xyz$। লব = $z(x-y) + x(y-z) + y(z+x) = zx - yz + xy - zx + yz + xy = 2xy$। ভগ্নাংশটি = $\frac{2xy}{xyz} = \frac{2}{z}$।

$\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{ab}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^{2}-ab+ab}{a^{2}-b^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}$।

ল.সা.গু. = $xy(x+y)$। লব = $x(x) + y(y) = x^{2}+y^{2}$। সুতরাং যোগফল = $\frac{x^{2}+y^{2}}{xy(x+y)}$।

ল.সা.গু. = $xyz$। লব = $z(x-y) + x(y-z) - y(x-z) = zx - yz + xy - xz - xy + yz = 0$। ফলে মান $0$।

$\frac{16}{(x+4)(x-4)} + \frac{4(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{16+4x-16}{x^{2}-16} = \frac{4x}{x^{2}-16}$।

$\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{3}-y^{3}} = \frac{x^{2}+xy+y^{2}}{(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})} = \frac{1}{x-y}$। অতএব, $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x-y} = 0$।

$\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{2b}{a^{2}-b^{2}} = \frac{a+b-2b}{a^{2}-b^{2}} = \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{1}{a+b}$।

প্রথম দুটি পদের বিয়োগফল = $\frac{x+3-(x-3)}{x^{2}-9} = \frac{6}{x^{2}-9}$। এরপর $\frac{6}{x^{2}-9} - \frac{6}{x^{2}-9} = 0$।

ধরি, $k$ বিয়োগ করতে হবে। $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} - k = 1 \implies k = \frac{a-b+a+b}{a^{2}-b^{2}} - 1 = \frac{2a}{a^{2}-b^{2}} - 1$।

$\frac{x^{2}}{(x+4)(x-4)} - \frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{x^{2}-x^{2}+4x}{x^{2}-16} = \frac{4x}{x^{2}-16}$।

$\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{1}{x-y} = \frac{x-(x-y)}{(x-y)^{2}} = \frac{x-x+y}{(x-y)^{2}} = \frac{y}{(x-y)^{2}}$

$\frac{(m-n)(m+n)-n^{2}}{(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})} = \frac{m^{2}-n^{2}-n^{2}}{m^{3}+n^{3}} = \frac{m^{2}-2n^{2}}{m^{3}+n^{3}}$

প্রথম দুটি পদের বিয়োগফল = $\frac{1+x+x^{2}-(1-x+x^{2})}{(1-x+x^{2})(1+x+x^{2})} = \frac{2x}{1+x^{2}+x^{4}}$। এরপর $\frac{2x}{1+x^{2}+x^{4}} - \frac{2x}{1+x^{2}+x^{4}} = 0$।

i. হরগুলোর ল.সা.গু = $(x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}$ (সঠিক)।
ii. হিসাব করলে $P-Q = \frac{-2y^{3}}{x^{2}-y^{2}}$ পাওয়া যায় (সঠিক)।
iii. হিসাব করলে যোগফল $P+Q = \frac{2x^{3}}{x^{2}-y^{2}}$ পাওয়া যায় (সঠিক)।

$x^{2}+x-12=x^{2}+4x-3x-12 = x(x+4)-3(x+4)=(x+4)(x-3)$

লঘিষ্ঠ মান = $\frac{(x+4)(x-3)}{(x+5)(x-3)} = \frac{x+4}{x+5}$। ধরি $z$ থেকে বিয়োগ করলে: $z-\frac{x+4}{x+5} = \frac{1}{x+5} \implies z = \frac{1}{x+5}+\frac{x+4}{x+5} = \frac{x+5}{x+5} = 1$।

কাটাকাটি করলে: লবে থাকে $2 \cdot 9 \cdot a^{4} \cdot b^{3} \cdot c^{5} = 18a^{4}b^{3}c^{5}$। হরে থাকে $3 \cdot 4 \cdot a^{2} \cdot b^{4} \cdot c^{4} = 12a^{2}b^{4}c^{4}$। ভাগ করলে $\frac{3a^{2}c}{2b}$ পাওয়া যায়।

$\frac{(1-x)(1+x)}{b(1+b)} \times \frac{(1-b)(1+b)}{1+x} = \frac{(1-x)(1-b)}{b}$

$(\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}) \times \frac{a^{2}b^{2}}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})} = \frac{ab}{a^{2}+b^{2}}$

$\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x-2)} \times \frac{x-2}{x-4} = 1$

$\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} \times \frac{a}{a-b} = (a-b) \times \frac{a}{a-b} = a$

i. $\frac{1}{x-y} \times \frac{1}{x+y} = \frac{1}{x^{2}-y^{2}}$ (সঠিক)।
ii. $\frac{x+y+x-y}{x^{2}-y^{2}} + \frac{2y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{2x+2y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{2(x+y)}{x^{2}-y^{2}}$ (সঠিক)।
iii. $(\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}) \times \frac{2y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{4xy}{(x^{2}-y^{2})^{2}}$ (সঠিক)।

$\frac{p+x}{p-x} \div \frac{(p+x)^{2}}{(p+x)(p-x)} = \frac{p+x}{p-x} \div \frac{p+x}{p-x} = 1$

$\frac{a-p}{a+p} \div \frac{(a-p)^{2}}{(a-p)(a+p)} = \frac{a-p}{a+p} \div \frac{a-p}{a+p} = 1$

$\frac{4a}{1+a^{2}} \times \frac{(1-a^{2})(1+a^{2})}{8a^{3}} = \frac{4a(1-a^{2})}{8a^{3}} = \frac{1-a^{2}}{2a^{2}}$

$(\frac{2a-2a-2b}{a+b}) \div (\frac{4a+4b-4a}{a+b}) = \frac{-2b}{a+b} \div \frac{4b}{a+b} = \frac{-2b}{a+b} \times \frac{a+b}{4b} = -\frac{1}{2}$

$\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \times \frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{1} = (a-b)^{3}$

$\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{2}} = \frac{(a^{2}-ab+b^{2})(a+b)}{(a^{2}+ab+b^{2})(a-b)} = \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}$

$\{(\frac{x+1}{x}) \div (\frac{x^{2}-1}{x^{2}})\} \div \frac{1}{x} = \{(\frac{x+1}{x}) \times \frac{x^{2}}{(x-1)(x+1)}\} \times x = \frac{x}{x-1} \times x = \frac{x^{2}}{x-1}$

$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)} \times \frac{x-y}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} = \frac{1}{(x+y)^{2}}$

$\frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^{2}} \div \frac{(m-n)^{2}}{(m-n)^{2}} = \frac{m+n}{m-n} \div 1 = \frac{m+n}{m-n}$

i. $\frac{xy(x^{2}-y^{2})}{xy(x-y)} = x+y$ (সঠিক)।
ii. $\frac{y+2x}{2xy} \div \frac{2x-y}{2xy} = \frac{2x+y}{2x-y}$ (সঠিক)।
iii. $\frac{a(a+b)-b(a-b)}{a^{2}-b^{2}} = \frac{a^{2}+ab-ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ (সঠিক)।

প্রথম ভগ্নাংশ = $\frac{(x-3)^{2}}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-3}{x-2}$। এদের গুণফল = $\frac{x-3}{x-2} \times \frac{x-2}{x-3} = 1$।

প্রথম ভগ্নাংশ = $\frac{x-3}{x-2}$। একে $\frac{x-2}{x-3}$ দিয়ে ভাগ করলে: $\frac{x-3}{x-2} \times \frac{x-3}{x-2} = \frac{(x-3)^{2}}{(x-2)^{2}}$।

$p = \frac{1+2x+4x^{2}-(1-2x+4x^{2})}{(1+4x^{2}-2x)(1+4x^{2}+2x)} = \frac{4x}{(1+4x^{2})^{2}-(2x)^{2}} = \frac{4x}{1+8x^{2}+16x^{4}-4x^{2}} = \frac{4x}{1+4x^{2}+16x^{4}}$।

$p \div q = \frac{4x}{1+4x^{2}+16x^{4}} \div \frac{2x}{1+4x^{2}+16x^{4}} = \frac{4x}{2x} = 2$।

$(\frac{1}{2x} + \frac{1}{y}) \div (\frac{1}{y} - \frac{1}{2x}) = \frac{y+2x}{2xy} \div \frac{2x-y}{2xy} = \frac{y+2x}{2xy} \times \frac{2xy}{2x-y} = \frac{2x+y}{2x-y}$